座標求積

　※これは過去のブログ記事を再掲したものです。

　時々お問い合わせ頂くので、今回は座標求積について記事を書くことにしました。

　近年の測量による土地の区画は、一般的に測点と測点を順次結んで表現します。

　座標求積とは、測点の位置を表す座標値から面積を求める方法です。

　まずは下図のような三角形の面積Sについて考えてみます。

　座標求積ではいくつかに分けた台形の面積を計算します。

　計算する台形の数は求積する図形の辺の数と同じです。この例では三角形を求積するので、台形の数は3個です。

　台形の面積は、以下の公式により計算できます。

　この公式を使って、各台形の面積を計算していきます。

①S₁の面積

　台形の面積に使用する上辺はY₂、下辺はY₁、高さはX₁-X₂です。

台形S₁の面積は公式より、

S₁=(Y₂+Y₁)×(X₁-X₂)÷2

※(X₁-X₂)は負(-)なので、S₁は負(-)となります。

　この時、高さ(X₁-X₂)　は　X₁＞X₂　と　X₁＜X₂　とで正負(+-)が異なります。

　必ず、X_n – X_n+1や、X_n+1-X_nなど、計算する順番を決めておきます。

　この正負によって、各台形の面積の正負が決まります。この例では、X_n-X_n+1で計算をすすめます。

　以下、同様に各台形の面積を求めます。

②S₂の面積

S₂=(Y₃+Y₂)×(X₂-X₃)÷2

※(X₂-X₃)は負(-)なので、S₂は負(-)となります。

③S₃の面積

S₃=(Y₃+Y₁)×(X₃-X₁)÷2

※(X₃-X₁)は正(+)なので、S₃は正(+)となります。

①～③で計算した台形の面積を合計することで、Sの面積が求められます。

S =(-)S₁+(-)S₂+S₃ =S₃-S₁-S₂

　以上のように、台形の面積の合計から任意の図形の面積が計算できます。

①～③の式を整理し一般化します。

①’

S₁=(Y₂+Y₁)×(X₁-X₂)÷2

=(Y₂X₁-Y₂X₂+Y₁X₁-Y₁X₂)÷2

②’

S₂=(Y₃+Y₂)×(X₂-X₃)÷2

=(Y₃X₂-Y₃X₃+Y₂X₂-Y₂X₃)÷2

③’

S₃=(Y₃+Y₁)×(X₃-X₁)÷2

=(Y₃X₃-Y₃X₁+Y₁X₃-Y₁X₁)÷2

S=S₁+S₂+S₃なので、

S =(Y₂X₁-Y₂X₂+Y₁X₁-Y₁X₂ +Y₃X₂-Y₃X₃+Y₂X₂-Y₂X₃ +Y₃X₃-Y₃X₁+Y₁X₃-Y₁X₁)÷2

　=(Y₂X₁-Y₁X₂+Y₃X₂-Y₂X₃-Y₃X₁+Y₁X₃)÷2

　=｛(Y₂-Y₃)X₁+(Y₃-Y₁)X₂+(Y₁-Y₂)X₃｝÷2

　この例は三角形についての式なので、n角形の式として整理すると、

S=Σ(Y_n+1-Y_n-1)X_n÷2

となります。

　下の例で実際に計算してみます。

A_n=(Y_n+1-Y_n-1)X_nとおくと、

A₁=(Y_②-Y_③)・X_①＝（2-9）×2=-14

A₂=(Y_③-Y_①)・X_②＝（9-6）×5=15

A₃=(Y_①-Y_②)・X_③＝（6-2）×8=32

S=(A₁+A₂+A₃)÷2

　=(-14+15+32)÷2

　=33÷2

　=16.5